Число Смита — такое составное число, сумма
цифр которого (в некоторой системе счисления, обычно в десятичной)
равняется сумме цифр всех его простых сомножителей с учётом кратности. Так,
примером числа Смита может служить 202 = 2 × 101, поскольку 2 + 0 + 2
= 4, и 2 + 1 + 0 + 1 = 4.
Первыми
пятьюдесятью числами Смита являются:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319,
346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, …
В 1987
американский математик Уэйн
Макдэниел доказал, что существует бесконечно много чисел Смита.
Количество чисел Смита, меньших 10n для n=1,2,… равно:
1, 6, 49,
376, 3294, 29 928, 278 411, 2 632 758,
25 154 060, 241 882 509, …
История
Понятие
чисел Смита было введено Альбертом Вилански из Университета Лехай в 1982.
Просматривая свою телефонную книжку, математик обратил внимание на то, что
телефонный номер его зятя Гарольда Смита (493-7775) обладал тем интересным
свойством, что сумма его цифр равнялась сумме цифр всех его простых
сомножителей. Число 4 937 775 раскладывается на простые сомножители следующим
образом: 4 937 775 = 3 × 5 × 5 × 65 837.
Сумма цифр телефонного номера равна
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42,
и сумма цифр его разложения на простые сомножители также равна 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.
Вилански назвал такой тип чисел по имени своего зятя. Так как этим свойством
обладают все простые числа, Вилански не включил их в определение.
Свойства
Наибольшим
известным числом Смита (по данным на 2005) является
9·R1031·(104594+3·102297+1)1476·103913210,
где R1031 = (101031−1)/9 —
репьюнит.
Два
последовательных натуральных числа, являющиеся числами Смита (например, 728 и
729, 2964 и 2965), называются близнецами
Смита. В настоящее время неизвестно, бесконечно ли количество близнецов
Смита. Аналогично определяются тройки, четверки и т. д. Смита.
Начальным элементом наименьшей n-ки Смита для n=1,2,… являются:
4, 728, 73 615,
4 463 535, 15 966 114, 2 050 918 644,
164 736 913 905, …
Существует
бесконечное количество чисел Смита, десятичная запись которых представляет
палиндром (читается одинаково слева направо и справа налево).
No comments:
Post a Comment